Obrazac za rešavanje kvadratne jednačine

Uobičajen

 

Definicija: Jednačina oblika , gde je nepoznata i gde su , i realni brojevi, pri čemu je naziva se kvadratna jednačina po , sa koeficijentima , i .

Leva strana ove jednačine je kvadratni trinom, a sabirci tog kvadratnog trinoma , i se, redom, nazivaju kvadratni, linearni i slobodni član.

 

Definicija: Kvadratne jednačina , je potpuna ako je i , a u suprotnom (ako je bar jedan od koeficijenata ili jednak nuli) kvadratna jednačina je nepotpuna.

 

Kog oblika su onda nepotpune kvadratne jednačine?

  1. ,  (tada su i koeficijent uz linearni i slobodan član jednaki nuli, tj. i )
  2. ,  (tada je koeficijent uz linearni član jednaki nuli, tj. )
  3. ,  (tada je slobodan član jednaki nuli, tj. ) 

 Podsetimo se sada kako smo rešavali nepotpune kvadratne jednačine u skupu realnih brojeva.

Primer: Rešiti jednačinu .

Rešenje: Kada je proizvod dva broja jednak nuli? Ako je bar jedan od njih jednak nuli. Budući da je u našem zadatku jedan od činilaca broj , zaključujemo da je drugi činilac . Kvadrat nekog broja je nula, koji je to broj? Dakle, dolazimo do zaključka da je.

 Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina oblika , uvek ima jedinstveno rešenje .

Primer: Rešiti jednačinu .
Rešenje: Ova jednačina ekvivalentna je jednačini , a ova deljenjem leve i desne strane jednakosti sa 4, jednačini . Koliko realnih rešenja ima ova jednačina? Ima dva rešenja, jedno pozitivno, a drugo negativno, štaviše rešenja su suprotni brojevi , odnosno .

Primer: Rešiti jednačinu .
Rešenje: Ova jednačina ekvivalentna je jednačini , а a ova deljenjem leve i desne strane jednakosti sa 4, jednačini . Koliko realnih rešenja ima ova jednačina? Budući da ne postoji realan broj čiji je kvadrat negativan, zaključujemo da ova jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva (ali ima rešenja u skupu kompleksnih brojeva).

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina oblika , ima dva realna i suprotna rešenaj ako su i suprotnog znaka, tj. , odnosno nema realnih rešenja ako su i istog znaka.

Primer: Rešiti jednačinu .
Rešenje: Ova jednačina ekvivalentna je jednačini , koja je dalje ekvivalentna disjunkciji    (proizvod dva broja jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli), pa jednačina ima dva rešenja   .

 Dakle, nepotpuna kvadratne jednačina oblika , ima dva realna rešenja, bez obzira na vrednosti koeficijenata i , pri čemu je jedno rešenje obavezno nula, to jest   .

 Krenimo sada od kvadratne jednačine oblika , . Nađimo obrazac za njeno rešavanje.

Ako polaznu jednačinu pomnožimo sa , to je moguće uraditi jer je , biće

Dodajmo levoj i desnoj strani izraz . Naša jednačina postaje

Primetimo da je leva strana ove jednakosti kvadrat binoma , to jest , pa je

  


  


  

Nalazimo da kvadratna jednačina u opštem slučaju ima 2 rešenja i uobičajeno je da se njeno rešenje piše u obliku


Na ovaj način smo dokazali sledeću teoremu:

Teorema: Rešenja kvadratne jednačine , data su formulom .

Primetimo da ova formula važi kako za potpune, tako i za nepotpune kvadratne jednačine.

Zadaci:

1. Rešiti sledeće kvadratne jednačine primenom obrasca:

            а)

            b)

            v)

            g)

Rešenje:

    а) U ovoj jednačini je ,  i , pa je , odakle je

  

Primetimo da su u ovom slučaju rešenja jednačine realna i različita, a da je vrednost izraza pod korenom bila 121 (pozitivan broj).

    b) U ovoj jednačini je ,  i , pa je , odakle je

  

Primetimo da su u ovom slučaju rešenja jednačine realna i jednaka, a da je vrednost izraza pod korenom bila 0.

 v) U ovoj jednačini je ,  i , pa je , odakle zaključujemo da jednačina nema realna rešenja jer broj nije definisan u skupu realnih brojeva.

Primetimo da u ovom slučaju jednačina nema realna rešenja (tada kažemo da jednačina ima kompleksna rešenja), a da je vrednost izraza pod korenom bila -300 (negativan broj).

Definicija: Izraz naziva se diskriminanta kvadratne jednačine , .
Na osnovu prethodnih primera zaključujemo da priroda rešenja kvadratne jednačine , zavisi od diskriminante D i važi:

    1) ako je , rešenja i su realna i različita;

    2) ako je , rešenja i su realna i jednaka

    3) ako je , jednačina nema realna rešenja (tada kažemo da su rešenja i konjugovano – kompleksna).

 

    g) Najpre ćemo transformisati ovu jednačinu u oblik .

 

/ :2

Nakon transformacije zaključujemo da je početna jednačina ekvivalentna sa nepotpunom kvadratnom jednačinom, koju ćemo takođe rešiti pomoću obrasca za rešavanje kvadratne jednačine. Ovde je , i ,  pa je , pa je   

Ista rešenja bismo dobili i rešavajući ovu kvadratnu jednačinu po postupku koji je ranije bio opisan za rešavanje nepotpune kvadratne jednačine.

2. Kupac je došao u poslastičarnicu sa molbom da za njega napravimo tortu pravougaonog oblika, dužine 24cm i dijagonale za 6cm kraće od njene dvostruke širine. Kolika je širina torte?

Rešenje: Postavimo jednačinu koristeći Pitagorinu teoremu


Na osnovu prethodnog dobijamo kvadratnu jednačinu , a nakon deljenja čitave jednačine sa 3, jednačina postaje . U ovoj jednačini je , i , pa je , pa je

  

Drugo rešenje odbacujemo jer širina ne može biti negativna. Dakle, širina torte će biti 18cm.

 3. Rešiti jednačinu .

Rešenje: Najpre transformišemo jednačinu u oblik pogodan za primenu obrasca za rešavanje kvadratne jednačine. Sve mešovite brojeve prevodimo u razlomke. Biće

/∙18

/:2

, , i

, pa je

  

Domaći zadatak

1. Rešiti sledeće kvadratne jednačine koristeći obrazac za rešavanje kvadratne jednačine:

            a) (Rešenje: , )

            b) (Rešenje: , )

            v) (Nema rešenja u skupu realnih brojeva. U skupu kompleksnih brojeva rešenja su , )

            g) (Rešenje: , )

2. Transformisati jednačine u ekvivalentne kvadratne jednačine, a zatim odrediti skup njihovih rešenja:

           a) (Rešenje: , )

           b)  (Rešenje: , to jest , )

           v) (Rešenje: , )

3*. Poslastičarnica se obavezala da trgovini isporuči za određeno vreme 600 torti. Povećanjem produktivnosti rada poslastičarnica je uspela da izrađuje dnevno 10 torti više, zbog čega je isporuku izvršila 3 dana ranije. Koliko je torti poslastičarnica izrađivala dnevno?

 (Uputstvo za rešavanje: Ako je vreme isporuke dana, tada je dnevna proizvodnja pre povećanja produktivnosti torti, a posle povećanja produktivnosti torti, pa po zahtevu zadatka, dobijamo jednačinu , odnosno , za . Rešenja ove jednačine su , . Problemu odgovara samo pozitivno rešenje. Prema tome, vreme isporuke pre povećanja proizvodnje bilo je 15 dana, a posle povećanja 12 dana. Dakle, dnevna proizvodnja poslastičarnice pre povećanja produktivnosti bila je

=40 torti, a posle povećanja produktivnosti =50 torti).

Advertisements

2 responses »

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s